2023江西公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系：三者容斥問題公式初探
近年來行測考試中，三者容斥問題的考查逐漸增多，其公式相對復(fù)雜，涉及到的量較多，所以大家可能會覺得題目條件繁瑣，無從下手。其實關(guān)于三者容斥問題，只要準確識別題型，利用三者容斥的公式，還是可以輕松解題的，下面跟著華公教育一起學(xué)習(xí)吧。
關(guān)于三者容斥問題，就是研究三個集合之間交叉關(guān)系的問題，我們可以通過一張圖片來理解一下：將集合A、B、C不同的區(qū)域標上序號，則A=①+④+⑤+⑦，B=②+④+⑥+⑦，C=③+⑤+⑥+⑦，A∩B=④+⑦，B∩C=⑥+⑦，A∩C=⑤+⑦，I為全部元素，M為不屬于集合A、B、C中的元素。
觀察圖片可知，I就是全部的元素數(shù)，如果求I的元素數(shù)，直接用A+B+C，則不同集合相交的部分，被重復(fù)計數(shù)，因此需要減掉，A∩B在A和B中各加一次，B∩C在B和C中各加一次，A∩C在A和C中各加一次，需要減去;A∩B∩C在A+B+C中被加了三次，而在減去A∩B、B∩C、A∩C又被各減了一次，因此需要再加回來一次;M還未計算，需要加上。
故三者容斥的基本公式為：I=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+M
若我們將④⑤⑥看成一個整體給出，這些區(qū)域的元素都只被計算兩次，需要減去1次，而⑦被計算了3次，需要減去兩次，則公式可變形為：
I=A+B+C-只屬于兩個集合的元素-2×屬于三個集合的元素+M。
學(xué)習(xí)完關(guān)于三者容斥問題的公式，下面我們通過兩道例題來了解一下這兩個公式如何運用。
某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)有甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的有28人，兼選甲、丙兩門課程的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人。問三門課程均未選的有多少人?
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B。華公解析：觀察題干條件，可以看出，題目中分別給出了選擇甲、乙、丙課程，兼選甲乙、甲丙、乙丙課程，以及同時選擇三門課程的人數(shù)，所求為三門課程均未選擇，條件恰好對應(yīng)我們上面學(xué)到的關(guān)于三者容斥問題的基本公式，那么可以將上述例題中的條件，分別與公式中的字母一一對應(yīng)，可以得到如下等式：50=40+36+30-28-26-24+20+M，可以解得M=2，因此三門課程都沒有選擇的人數(shù)為2人，答案選擇B。
某班參加學(xué)科競賽人數(shù)40人，其中參加數(shù)學(xué)競賽的有22人，參加物理競賽的有27人，參加化學(xué)競賽的有25人，只參加兩科競賽的有24人，參加三科競賽的有多少人?
A.2 B.3 C.5 D.7
【答案】C。華公解析：首先確定是三者容斥問題，題目中給出只參加兩科競賽人數(shù)，可使用變形公式，假設(shè)參加三課競賽的人數(shù)為x，題干中的40人是參加學(xué)科競賽的人數(shù)，所以未參加競賽人數(shù)是0，因此M為0，將數(shù)據(jù)代入公式可得：40=22+27+25-24-2x，解得x=5，即參加三科競賽的人數(shù)為5人。
以上兩個公式就是解決三者容斥問題所涉及到的基本公式，二者的原理是相同的，即去掉計數(shù)中重復(fù)計算的部分，加上未計算的部分，以做到不重不漏，在遇到關(guān)于容斥問題的時候，大家一定要看清楚題干給出了哪些數(shù)據(jù)，從而選擇合適的公式解題。
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